Was sind Uhren-Aufgaben?
Neun Aufgaben werden gestellt top 1) Zeiger liegen übereinander
Quelle: (2) Problem 43 2) Zeiger bilden eine Strecke Um 6 Uhr zeigt der große Zeiger nach oben, der kleine nach unten. Wann bilden die beiden Zeiger wieder eine Gerade? 3) Winkel zwischen den Zeigern Gegeben ist die Zeit 12:44 Uhr. Welchen Winkel bilden die beiden Zeiger? 4) Zeiger stehen aufeinander senkrecht Um 3 Uhr bilden der große und der kleine Zeiger einen rechten Winkel. Wann bilden die beiden Zeiger wieder einen rechten Winkel? 5) Drei Zeiger liegen übereinander Um 12 Uhr liegen der große, der kleine und der Sekundenzeiger übereinander. Wann passiert dieses Ereignis wieder? 6) Zeiger vertauschen Bei welchen Zeigerstellungen werden Zeiten angezeigt, die auch Uhrzeiten bedeuten, wenn man den Minuten- und den Stundenzeiger austauscht? Quelle: (1) Problem 61
7) Vierteilung des Zifferblattes
8) Weg der Zeigerspitze Der große Zeiger einer Armbanduhr hat die Länge von 1cm. Welchen Weg legt die Zeigerspitze in einem Jahr zurück? 9) Himmelsrichtung mit der Uhr Wie kann man bei Sonnenschein die Richtung Süden mit einer Uhr feststellen? Quelle: Volksgut
Weitere Aufgaben findet man z.B. als Aufgabe 57 bis 66 bei (1) im Kapitel Clock Puzzles. 1) Zeiger
liegen übereinander --- Lösung top
Erste Lösung Wenn der große Zeiger einmal das Zifferblatt umkreist, hat er einen Winkel von 360° überstrichen. In dieser Zeit hat sich der kleine Zeiger um eine Ziffer weiter bewegt, also um einen Winkel von 30°. Der große Zeiger ist also 12mal schneller als der kleine Zeiger. Ausgangszeit ist 12 Uhr. Der große und der kleine Zeiger decken sich. Bei einem vollen Umlauf des großen Zeigers in einer Stunde hat sich der kleine Zeiger um 1/12 weiter bewegt. Um ihn zu erreichen, muss der große Zeiger um 1/12 weiterdrehen. Dann ist der kleine Zeiger aber um 1/12 von 1/12, also um 1/12² weitergewandert. Dem muss der große Zeiger folgen. Wieder bewegt sich der kleine Zeiger um 1/12 von 1/12² weiter, der große folgt und so fort. Der große Zeiger bewegt sich also um 1+1/12+1/12²+1/12³+... weiter. Das ist eine Summe mit beliebig vielen Summanden. Meist geht sie über alle Grenzen. In diesem Falle nähert sie sich einem Grenzwert. Da es sich hier um eine geometrische Reihe mit a0=1 und q=1/12 handelt, ist er bekannt: s=a0/(1-q)=12/11. Der große Zeiger bewegt sich also um 12/11 Stunden weiter, also um 1/11 mehr als um eine volle Drehung. 1/11 von 60 Minuten sind 60/11 min. Es gilt weiter 60/11 min=5 min + 27 s + 3/11 s. Ergebnis: Zum Zeitpunkt 13:05:27 und 3/11s stehen die beiden Zeiger wieder übereinander. Zweite Lösung Der große Zeiger läuft 12mal schneller als der kleine Zeiger. Der große Zeiger überstreicht in der Zeit t den Winkel 360*t Grad, der kleine 30*t Grad. Übereinstimmung der Zeiger ist gegeben, wenn gilt 30t =360t-360n oder t=(12/11)n. n ist die Anzahl der Umdrehungen. Der große Zeiger bewegt sich also für n=1 um 12/11 Stunden weiter, also um 1/11 mehr als um eine volle Drehung. 1/11 von 60 Minuten sind 60/11 min. Es gilt weiter 60/11 min=5 min + 27 s + 3/11 s. Ergebnis: Zum Zeitpunkt 13:05:27 und 3/11s stehen die beiden Zeiger wieder übereinander. Verallgemeinerung Für das n-te Treffen gilt (1/12)t = t - n oder t=(12/11)n. Zu folgenden Zeitpunkten liegen die Zeiger übereinander.
2) Zeiger
bilden eine Strecke --- Lösung top
3)
Winkel zwischen Zeigern --- Lösung top
alpha=[7*30°+(17/60)*30°]-17*6° = 116,5° Verallgemeinerung Die Zeit sei hh:mm. Es gilt hh*30°+(mm/60)*30°-mm*6° =hh*30°-mm*5,5°. Der Winkel zwischen den Zeigern ist gleich dem Betrag des Terms: alpha=|hh*30°-mm*5,5°|. 4)
Zeiger stehen aufeinander senkrecht --- Lösung top
5)
Drei Zeiger liegen übereinander --- Lösung top
Bei Dr. Math (URL unten) kann man noch weiter nachlesen: "One could ask for the closest bunching not at 12 o'clock. I find that this occurs at about 5:27:27.3, when all the hands are within a 1.0014 degree sector." 6) Zeiger
vertauschen --- Lösung top
Eine nachvollziehbare Lösung bietet Manfred Börgens im Internet an (URL unten). Er findet 143 Zeit-Paare. Darunter sind die 11 Stellungen, bei denen beide Zeiger übereinanderliegen. Ist x die Zeigerstellung des Stundenzeigers, so gilt x = (12/143)j (j
= 0,1,2,...,142).
7) Vierteilung des Zifferblattes --- Lösung top
Lösung
Anmerkung: Hier ist eine Stelle, einmal auf die beiden "Rätselerfinder" Sam Loyd (1841-1911) aus den USA und Henry Ernest Dudeney (1857-1930) aus England einzugehen. Beide waren Zeitgenossen und Berühmtheiten in ihrer Zeit. Dudeney war unter den beiden Puzzle-Experten derjenige mit den größeren mathematischen Fähigkeiten, Sam Loyd, ursprünglich nur Schachexperte, war ein gewiefterer Geschäftsmann. Beide standen miteinander in Kontakt. Dudeney schickte eine große Anzahl seiner Puzzles zu Loyd, stellte das aber bald ein, als er bemerkte, dass dieser sie unter seinem eigenen Namen veröffentlichte. Die beiden verschiedenen Lösungen des obigen Problems "Vierteilung des Zifferblattes" mögen ein Beispiel dafür sein, dass sie oft ähnliche Rätsel veröffentlichten und dass sie sich gegenseitig zu übertreffen versuchten. In Martin Gardners Buch (4) kann man mehr über die beiden nachlesen:
In meiner Homepage gehe ich auf einige berühmte Puzzles von Dudeney ein: Tangram, Zerschneidung eines Dreiecks, Fliege-Spinne-Problem, Crescent Puzzle, Send more money.
Sam Loyd war auf meiner Homepage durch das Fünfzehnerspiel vertreten. Neuere Forschungen haben ergeben, dass er nicht der Erfinder dieses Puzzles war. 8) Weg der Zeigerspitze
--- Lösung top
9)
Himmelsrichtung mit der Uhr --- Lösung top
Uhren-Aufgaben im Internet top Deutsch Manfred Börgens
Wikipedia
Englisch Doctor Rob, The Math Forum
Gary Darby
Henry Ernest Dudeney (Project Gutenberg Literary Archive Foundation)
Jim Loy
National Library of Virtual Manipulatives - Utah State University
Wikipedia
Referenzen top
URL meiner
Homepage:
© 2008 Jürgen Köller |
...
...
...
...
...
