Was ist eine Lissajous-Figur?

...... x=sin(t) /\ y=sin(2t)

Eine Lissajous-Figur ist der Graph, der durch die Parametergleichungen x=a1sin(b1t+c1) y=a2sin(b2t+c2)  beschrieben wird. In Anlehnung an die harmonische Schwingung heißen die Größen ai Amplituden, bi Kreisfrequenzen und ci Phasen (i=1, 2).

Grundfiguren     top
Typische Lissajous-Figuren erhält man über die vereinfachten Gleichungen x=sin(b₁t) /\ y=sin(b₂t). 
Die Variablen b₁ und b₂ stehen für natürliche Zahlen.
Beispiele

x=sin(t) y=sin(2t)

x=sin(t) y=sin(3t)

x=sin(t) y=sin(8t)

x=sin(2t) y=sin(3t)

x=sin(7t) y=sin(9t)

Beschreibung der Grundfiguren     top
Abgeschlossenheit
Es entstehen geschlossenen Kurven, da die beteiligten Sinusfunktionen im Bereich {t | 0<= t<=2pi} periodisch sind.

......

Alle Figuren  haben die Darstellung x=sin(b1x) /\ y=sin(b2x). Die Figuren sind achsensymmetrisch bezüglich der Achsen des Koordinatensystems, denn es gilt sin(b1x)=sin[b1(-x)] und sin(b2x)=sin[(b2(-x)].

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Die Figuren in einem Quadrat mit der Seitenlänge 2 Längeneinheiten, denn es gilt a1= a2= 1.

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Der nebenstehende Graph berührt das umschreibende Quadrat in der Vertikalen 3-mal und in der Horizontalen 4-mal. Daraus kann man folgern, dass die Parametergleichungen x=sin(3x) /\ y=sin(4x) sind. Stellt man nämlich den Graphen zu y=sin(4x) im Intervall von 0 bis 2pi dar, so erkennt man in seinen Scheitelpunkten die vier Berührpunkte. Entsprechendes gilt für den Graphen zu y=sin(3x).

Erweiterungen    top
Phasenverschiebungen
Tritt zwischen den beiden Sinusfunktionen zu einer Grundfigur eine "Phasenverschiebung" c₁-c₂ auf, so geht eine Symmetrie verloren. Die Graphen verändern sich je nach Phasenlage, bewahren aber ihr Grundaussehen.
Das veranschaulichen die folgenden sechs Bilder.

x=sin(t) y=sin(2t)

x=sin(t) y=sin(2t+pi/5)

x=sin(t) y=sin(2t+n*pi/10)  (n=0, 1, 2, ..., 20)

Die Phasenverschiebungen sind pi/5 und in der Animation n*pi/10  (n=0, 1, 2, ..., 20)

x=sin(3t) y=sin(4t)

x=sin(3t) y=sin(4t+9pi/10)

x=sin(3t) y=sin(4t+n*pi/10)  (n=0, 1, 2, ..., 20)

......

Bisher galt für die Amplituden a1 = a2  = 1. Wählt man z.B. a1 = 3 und a2 = 2, so wird die Lissajous-Figur entsprechend gedehnt. Die Parameterdarstellung ist  x=3sin(3t) /\ y=2sin(4t).

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Bisher wurden nur natürliche Zahlen als Kreisfrequenzen zugelassen. So hat der nebenstehende Graph die Darstellung x=sin(7t) /\ y=sin(9t)..............................................

...... x=sin(7/9t) y=sin(t)

In der Literatur kann man nachlesen, dass die Art der Lissajous-Figur entscheidend durch das Verhältnis der Kreisfrequenzen b1:b2 bestimmt wird. Unter diesem Gesichtspunkt sollte man annehmen, dass die Gleichungen x=sin(7/9t) /\ y=sin(t) zum  gleichen Graphen führen. (Übrigens muss man hier für t die Werte von 0 bis18pi einsetzen, damit die vollständige Figur entsteht.)  Es sieht nicht so aus, als sei dieses der gleiche Graph. Die Berühr-Regel gilt nicht.

......

Und das ist die Auflösung. Man muss nur eine kleine Phasenverschiebung pi/5 einführen, um einzusehen, dass es sich um eine Grenzform der Grundfigur oben handelt.  Es gilt  x=sin(7/9t+pi/5) y=sin(t)......... 0<=t<=18pi

......

Um die Grundfigur zu erhalten, muss man eine Phasenverschiebung von pi/2 ansetzen. Die Gleichungen heißen dann x=sin(7/9t-pi/2) und y=sin(t) oder x=cos(7/9t) /\ y=sin(t). Es bleibt 0<=t<=18pi.

......

Auch für die Parametergleichungen x=sin(t) /\ y=sin(9/7t) mit 0<=t<=14pi ergibt sich der gleiche Ausartungsfall als Graph. Es gilt hier 0<=t<=14pi. Die Figur wird zur Grundfigur durch x=sin(t) /\ y=sin(9/7t-pi/2).

Nicht geschlossene Lissajous-Figuren     top
Wie oben erwähnt, sind die Figuren nicht mehr geschlossen, wenn mindestens eine Kreisfrequenz in den Parametergleichungen eine irrationale Zahl ist.
Das zeigt die folgende Bilderreihe für x=sin(t) /\ y=sin(1.41421t). Die Dezimalzahl steht für sqrt(2).

x=sin(t) y=sin(1.41421t) 0<=t<=2pi

x=sin(t) y=sin(1.41421t) 0<=t<=10pi

x=sin(t) y=sin(1.41421t) 0<=t<=100pi

x=sin(t) y=sin(1.41421t) 0<=t<=300pi

Es hat den Anschein, als fülle der Graph mit größer werdendem Definitionsbereich immer mehr das umschreibende Quadrat aus.

Ausartungen     top
Einige bekannte Graphen gehören zu den Lissajous-Figuren, z.B. die Strecke, die Kreislinie, die Ellipse und das Parabelstück.

x=sin(t) y=sin(t)

x=sin(t) y=sin(t-pi/2)

x=sin(t) y=sin(t-pi/3)

x=sin(t) y=sin(2t+3pi/2)

Verfremdung der Parametergleichungen       top
 

x=1.5sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t)

x=1.5sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t+pi/20)

x=1.5sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t+pi/8)

x=1.5sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t+pi/2)

Die Figuren stehen auf dem Kopf.

x=sin(2t)sin(3t)  y=sin(t)sin(5t)

x=sin(t)sin(3t)  y=sin(t)sin(5t-pi/4)

x=sin(6t)sin(4t)  y=sin(4t)sin(8t)

x=sin(3t)sin(4t)  y=sin(4t)sin(8t)

Epizykloiden
Über Epizykloiden, die auch durch Parametergleichungen mit Sinusfunktionen beschrieben werden, gibt es an einer anderen Stelle meiner Homepage eine Seite.

Lissajous-Figur im Internet top

Deutsch

Gerhard Hanebeck Einander rechtwinklig überlagernde Schwingungen

Wikipedia
Lissajous-Figur, Harmonograph

Eric W. Weisstein   (MathWorld)
Lissajous Curve, 

Famous Curves Index
Lissajous Curves, Applet

Gerd Breitenbach
Vibrating Strings, musical Intervals and Lissajous Curves

Richard Parris
Winplot

Wikipedia
Lissajous curve, Harmonograph

Xahlee
Lissajous

Robert FERRÉOL, (Mathcurve)
COURBE DE LISSAJOUS,   COURBE DE LISSAJOUS 3D

Referenzen     top
(1) Heinz Nickel (u.a.):  Algebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M Zürich 1966 
(2) W. Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986