Kurven im Polarkoordinatensystem
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Was sind Kurven im Polarkoordinatensystem?
Einführung des Polarkoordinatensystems
Spiralen durch Polargleichungen
Kreise durch Polargleichungen
Geraden durch Polargleichungen
Weitere Kurven
Kurven im Polarkoordinatensystem im Internet
Referenzen.
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Was sind Kurven im Polarkoordinatensystem?
Kurven erhält man meist mit Hilfe von Gleichungen, die Beziehungen zwischen Koordinaten beschreiben.
....... Man erhält zum Beispiel einen Kreis mit dem Radius R, wenn man im kartesischen  Koordinatensystem den Graphen zur Relation x²+y²=R² bestimmt. 


...... Der Kreis gehört zu den Kurven, die sich im sogenannten Polarkoordinatensystem bequemer beschreiben lassen. 

Es gilt für den Kreis r(t)=R.


Auf dieser Seite sollen Polarkoordinaten eingeführt und auf die Darstellung von Kurven angewandt werden.

Einführung des Polarkoordinatensystems    top
Kartesische Koordinaten
...... Im kartesischen Koordinatensystem gibt man zwei aufeinander senkrecht stehende Achsen vor, die sich im Nullpunkt schneiden. 
Man legt einen Punkt in der Ebene fest, indem man die Abstände zu den Achsen und entsprechende  Vorzeichen angibt. 


Polarkoordinaten
...... Bei Polarkoordinaten führt man einen (horizontal liegenden) Strahl h ein, der in einem Nullpunkt N beginnt. Man legt in der Ebene einen Punkt P fest, indem man ihn mit dem Nullpunkt N verbindet und dann die Entfernung r vom Nullpunkt und den Winkel phi zwischen der Geraden NP und der Halbgeraden h angibt.
P(r|phi) 
Der Winkel wird entgegegen dem Uhrzeigersinn orientiert. 

Man nennt den Nullpunkt N auch Pol, die Halbgerade h Polarachse, den Radius r auch Radiusvektor oder Polabstand und den Winkel phi auch Polarwinkel. (1) Seite 212

Grundmengen
Für das kartesische Koordinatensystem sind die Grundmengen der x- und y-Werte die Menge der reellen Zahlen. 
So einfach ist es hier nicht.
Beim Polarkoordinatensystem darf von der Definition her der Radius nur positive Zahlen annehmen. 
Für die Winkel genügen für die Darstellung von Punkten der Ebene die Zahlen von Null bis ausschließlich 360°.
Aber es ist zweckmäßig, auch Winkel über 360° zuzulassen. Dann erfasst man zum Beispiel auch die Spiralen. Allerdings gibt es dann nicht mehr eine eineindeutige Zuordnung zwischen Winkel und Punkt. Zu jedem Winkel gibt es zwar einen Punkt, aber einem Punkt können neben phi die Winkel phi+n*360° (n=1,2,3,...) zugeordnet werden.

Bei Verwendung von Polarkoordinaten bevorzugt man zur Messung des Polarwinkels das Bogenmaß, wobei man die Einheit rad weglässt wie auch die Längeneinheit beim Radius.

Hier eine Gegenüberstellung der beiden Winkelmaße. 

Winkelmaß

Bogenmaß


Beziehungen
......
Die Beziehungen zwischen den beiden Koordinatensystemen wird durch trigonometrische Funktionen vermittelt.
Es gilt cos(t)=x/r und sin(t)=y/r bzw. x=r*cos(t) und y=r*sin(t). 
Dabei wird vorausgesetzt, dass die Nullpunkte zusammenfallen. 

Es folgen Kurven dargestellt durch Polarkoordinaten. 
Entsprechende Darstellungen im kartesischen Koordinatensystem werden meist weggelassen.

Von jetzt an wird auf dieser Seite die Winkelbezeichnung phi durch den bequem zu schreibenden Buchstaben t ersetzt.

Spiralen durch Polargleichungen top
Spiralen sind das Paradebeispiel für eine sinnvolle Verwendung von Polarkoordinaten. 
... Die einfachste Spirale ist die archimedische Spirale mit r(t)=t.

Es gilt hier |D={t | 0 <=  t <= 7*pi}.


Wie sie entsteht, zeigen die drei folgenden Bilder. 
Der Radius (links) und gleichzeitig der Winkel (Mitte) wachsen gleichförmig. 
Das führt im Zusammenspiel zur Spirale (rechts). 
Allgemeiner führt jede Gleichung, in der der Radius mit dem Winkel steigt oder fällt, zu Spiralen. 
Das zeigen die folgenden Beispiele.
Näheres findet man auf meiner Seite Spiralen.

Kreise durch Polargleichungen top
...... Die bekannte Darstellung eines Kreises mit dem Radius R ist die Mittelpunktsform x²+y² = R² (s.o.). 
In Polarkoordinaten ist die einfache Gleichung r(t)=R dieser Kreis. Bei ihm ändert sich der Radius mit dem Winkel nicht.

Verschiebt man den Mittelpunkt des Kreises vom Nullpunkt weg, dürfte die Darstellung in Polarform umständlich werden.


Die Sinus- und Kosinusfunktion führen auch zu Kreisen.

r(t)=sin(t)

r(t)=cos(t)
Nachweis
Für den Kreis zum Sinus gilt:
Mittelpunkt M(0|1/2), Radius 1/2.
Dann gilt x²+(y-1/2)²=(1/2)²
<=> x²+y²-y+1/4=1/4
<=> x²+y²=y
<=> r²=y
<=> r=y/r
<=> r=sin(t).
Für den Kreis zum Kosinus gilt:
Mittelpunkt M(1/2|0), Radius 1/2.
Dann gilt (x-1/2)²+y²=(1/2)²
<=> x²-x+1/4+y²=1/4
<=> x²+y²=x
<=> r²=x
<=> r=x/r
<=> r=cos(t). 
Die Schlussrichtung ist von unten nach oben.

Es fällt auf, das links der Kreis im ersten und zweiten Quadranten liegt, rechts im ersten und vierten. 
Trägt man die beiden Funktionen in einem kartesischen Koordinatensystem r gegen t ab, so wird die Lage verständlich.

Ersetzt man in r(t)=sin(t) bzw. r(t)=cos(t) die Variable t durch t+a, so bedeutet das, dass die Sinus- bzw. Kosinuskurve längs der t-Achse verschoben wird. Das führt im Polarkoordinatensystem zu Drehungen des Kreises. 
Die Radien bleiben mit r=1/2 erhalten.

r(t)=sin(t)

r(t)=sin(t-1/2)

r(t)=cos(t)

r(t)=cos(t+1)

Geraden durch Polargleichungen top
Beispiel
...... Die Gerade links hat die Darstellung y=(1/2)x+1.

Setzt man x=r*cos(t) und y=r*sin(t), so ergibt sich r*sin(t)=(1/2)r*cos(t)+1 oder r(t)=1/[(sin(t)-(1/2)cos(t)].
Das ist die Geradengleichung in Polarform. 


Verallgemeinerung
Eine Gerade hat die Darstellung y=mx+b. Mit x=r*sin(t) und y=r*cos(t) ergibt sich die Geradengleichung in Polarform: r(t)=b/[sin(t)-m*cos(t)].
Geraden  parallel zur y-Achse haben die Darstellung x=a. Das führt mit x=r*cos(t) zu r(t)=a/cos(t)

Von den sechs trigonometrischen Funktonen führen die im deutschsprachigen Bereich weniger bekannten Sekans- und Kosekansfunktion auch zu Geraden [sec(t)=1/cos(t),  csc(t)=1/sin(t)].
Das ist leicht einzusehen: Man setze in  r(t)=b/[sin(t)-m*cos(t)]  m=0, b=1 bzw. in r(t)=a/cos(t) a=1. 

Weitere Kurven   top
Ellipse
... Für die Ellipse ist epsilon < 1.
Für die Parabel ist epsilon = 1.
Für die Hyperbel ist epsilon > 1.
Mehr findet man auf meinen Seiten Ellipse, Parabel und Hyperbel.


Herzkurven
Kardioide

r=2[1+cos(t)]
Mehr findet man auf meiner Seite Herzkurven.

Eine Achtkurve
Die Lemniskate wird durch die Polargleichung r(t)=sqrt[cos(2t)] dargestellt.
Mehr findet man auf meiner Seite Achtkurven.

Eilinien
Folium

r(t)=cos³t
Doppel-Ei

r(t)=cos²t 
Krummes Ei

r(t)=sin³t+cos³t
Mehr findet man auf meiner Seite Eilinien.

Rosetten
Trifolium
Quadrifolium

r=sin(5t)
Mehr findet man auf meinen Seiten Dreistrahlige Figuren und Vierstrahlige Figuren.

Noch weitere Kurven

Mehr findet man über diese Kurven in der folgenden Linkliste.


Kurven im Polarkoordinatensystem im Internet    top

Deutsch

Wikipedia
Polarkoordinaten
Konchoide, Konchoide von de SluzeKegelschnitt, Pascalsche Schnecke, Strophoide, Zissoide

Wolfgang Appel
Guess the coordinates  (Applet)



 

Englisch

Abdelkader Dendane
Polar Coordinates and Equations  (Java Applet) 

David R. Hill
Polar Gallery

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Polar CoordinatesPolar Angle
Cayleys Sextic, Cycloid of Ceva, Cissoid of DioclesCochleoid, Conchoid, Conchoid of de SluzeConchoid of NicomedesDevil's Curve, Epispiral, Freeth's NephroidHippopede, Kampyle of EudoxusKappa CurveLimaçon, Maclaurin TrisectrixQuadratrix of Hippias, Rose, Strophoid, Tschirnhausen CubicWatt's Curve

FooPlot
2-D plotting  (Sie können hier Funktionen, Polarkoordinaten-Funktionen, oder Parameterdarstellungen plotten.)

IES Inc. 
Simple Graph (Polar Coordinates) (applet)

Jan Wassenaar  (2dcurves
Algebraic curves
Cubic: conchoid of de Sluzecissoid, oblique strophoid, right strophoid, trisectrix of Longchamps
trisectrix of MacLaurin
Quartic: hippopede, devil's curve, kampyle of Eudoxus, kappa curve, limaçon
sextic: nodal curverhodenea, arcs of Samothrace, Cayley's sextic, Ceva's trisectrix, dipole curve, scarabaeus
Others: generalized arcs of Samothracegeneralized bean curve

National Curve Bank (Math on the Web)
Index of Classic Plane Curves and SurfacesColor-coded Curves

NN
Plane Curve Gallery

Richard Parris   (peanut Software)
Program WINPLOT

The MacTutor History of Mathematics archive  (Famous Curves index)
Cayley's SexticCissoid of DioclesCochleoid, Conchoid, Conchoid of de SluzeDevil's CurveFreeth's NephroidKampyle of EudoxusKappa CurveLimaçon, Quadratrix of HippiasRhodonea CurvesRight StrophoidTrisectrix of MaclaurinWatt's Curve

Wikipedia  (List of curves)
Polar coordinate system
Cardioid, Cissoid of Diocles, Cochleoid, Conchoid of de SluzeConic section, Devil's curveEpispiral
Folium of  DescartesHippopede, Kampyle of Eudoxus, Kappa curveStrophoid, Trisectrix of Maclaurin

Xah Lee  (A Visual Dictionary of Special Plane Curves)
Cissoid of Diocles,   Limacon Of PascalTrisectrix of Maclaurin



Französisch

Robert FERRÉOL 
COURBES 2D


Referenzen    top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2008 Jürgen Köller

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