Quader
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Was ist ein Quader?
Besondere Quader
Beschreibung
Größen des Quaders
Innenleben eines Quaders
Pythagoräischer Quader
Puzzles mit Quadern
Parallelepiped
Quader um uns
Quader im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein Quader?
...... Ein Quader ist ein Körper, der von drei passenden Paaren von Rechtecken gebildet wird.

Aneinander stoßende Rechtecke stehen senkrecht aufeinander. 


Das ist der gleiche Quader in 3D-Sicht. 
 

Besondere Quader   top
Besondere Quader haben auf meiner Homepage eigene Seiten.
Beim quadratischen Prisma sind zwei Seitenflächen Quadrate. Beim Würfel sind alle Seitenflächen Quadrate.

Quadratisches Prisma

Würfel


Beschreibung   top
Seitenflächen
...... Die drei Paare von Rechtecken zeigen sich, wenn man den Quader in der Ebene ausbreitet.

Die Figur ist das Netz des Quaders.
Es gibt 54 verschiedene Netze (Quelle: Maurice Starck, URL unten).


...... Je zwei Rechtecke sind kongruent, so dass nur drei Rechtecke zu beschreiben sind. 
Bezeichnet man die Kanten des Quaders mit a (Länge), b (Breite) und c (Höhe), so haben die drei Rechtecke die Maße a*b, a*c und b*c.

Da Räume oft quaderförmig sind, bezeichnet man die Flächen eines Quaders auch mit Grundfläche, Deckfläche, Seitenfläche rechts, Seitenfläche links, Vorderfläche und Rückfläche.

Kanten
...... Es gibt 12 Kanten. Vier Kanten haben jeweils dieselbe Länge.
Drei Kanten bilden die Ecke des Quaders und stehen paarweise aufeinander senkrecht.
Addiert man die Kantenlängen, so ergibt sich die Kantensumme s=4a+4b+4c. 

Eckpunkte
...... Es gibt 8 Eckpunkte. 
Die eulersche Formel für konvexe Körper, f+e=k+2,  wird erfüllt.
Mit f=6, e=8 und k=12 gilt f+e=6+8=14=12+2=k+2.

Diagonalen
Es gibt 12 Flächendiagonalen. Jeweils vier Diagonalen sind gleich lang.
Es gibt 4 Raumdiagonalen, die sich in einem Punkt schneiden. Sie sind gleich lang.
 

Symmetrie
Der Schnittpunkt der Raumdiagonalen ist der Mittelpunkt des Quaders und sein Symmetriezentrum.
Es gibt drei Symmetrie-Ebenen und drei Symmetrie-Achsen. 

Form
Das Verhältnis der drei Kanten, nämlich a : b : c, ist geeignet, die Form eines Quaders zu beschreiben.
So hat der auf dieser Seite meist verwendete Quader die Form a:b:c = 4:3:2 oder a:b:c = 2:1,5:1.

Größen des Quaders     top
Der Quader wird i.a. durch die Länge a, die Breite b und die Höhe c bestimmt. 
Daraus lassen sich weitere Größen berechnen.


Volumen V
...... ...... Das Volumen eines Quaders bestimmt man im Anfangsunterricht Geometrie, indem man einen Einheitswürfel vorgibt und feststellt, wie viele in den Quader passen.
Mit den angegebenen Daten baut man eine Stange aus 4 Würfeln, legt sie zweimal dahinter und setzt die so entstandene untere Schicht darauf. Das ergibt V=4*3*2 Einheitswürfel. 
Die bekannte Volumenformel V=a*b*c ist nur ein raffiniertes Zählen.
Hier ist V=a*b*c=4cm*3cm*2cm=24cm³.

Oberfläche O
... Es gilt O=2ab+2ac+2bc.

Das ist ein Netz des Quaders. 
the fifty four nets of the rectangular parallelepiped


Diagonalen
...... Es gibt drei verschiedene Flächendiagonalen. 
Nach den Satz des Pythagoras gilt d1=sqrt(a²+b²). Entsprechend gilt d2=sqrt(a²+c²) und d3=sqrt(b²+c²).
Die Raumdiagonale hat die Länge e=sqrt(d1²+c²)=sqrt(a²+b²+c²).

Radius der Umkugel
Der Schnittpunkt der Raumdiagonalen hat von den Eckpunkten des Quaders eine Entfernung, die gleich der halben Länge der Raumdiagonalen ist. Es gilt also für den Radius der Umkugel R=(1/2)sqrt(a²+b²+c²).

Innenleben eines Quaders     top
Mittenkörper
...... Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen miteinander, so entsteht eine Bipyramide.
Die gemeinsame Grundfläche der beiden Pyramiden ist eine Raute
Ist die Grundfläche des Quaders ein Quadrat, so entsteht eine quadratische, gerade Bipyramide.


Eckpyramiden
......
Drei Kanten treffen sich in einem Eckpunkt. Verbindet man die freien Endpunkte dieser Kanten miteinander, so entsteht eine dreiseitige Pyramide. Die Seitenflächen sind rechtwinklige Dreiecke, und die drei Flächendiagonalen bilden die Grundfläche. 
Es entsteht an jedem Eckpunkt eine kongruente Pyramide.
......
Zwei Pyramiden, die eine Flächendiagonale gemeinsam haben, lassen unter sich zwei  Pyramiden. So wird der Quader in vier kongruente Pyramiden aufgeteilt.
...... Zwei Pyramiden, die zwei gegenüberliegende Ecken besetzen, lassen zwischen sich eine Art Antiprisma.

Drei Pyramiden
In einem Quader liegen nebeneinander drei volumengleiche, schiefe Pyramiden.

24 Dreiecke
...... Die Raumdiagonale, eine Flächendiagonale und eine Kante bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Zu jeder Raumdiagonalen gibt es sechs Dreiecke dieser Art, also gibt es im Quader insgesamt 24 Dreiecke. 

Sechs Rechteck-Pyramiden
...... Die Seitenfläche des Quaders und sein durch die Raumdiagonalen festgelegter Mittelpunkt bilden eine Pyramide. Es gibt sechs Pyramiden dieser Art. 
Sie haben das gleiche Volumen.

Sechs dreiseitige Pyramiden
...... Es gibt sechs schiefe, dreiseitige Pyramiden mit einem halben Rechteck als Grundfläche und einer Quaderkante als Höhe. 
Alle sechs Pyramiden haben das gleiche Volumen.

Eine gerade Rechteck-Pyramide
...... Errichtet man auf der Grundfläche eine gerade Rechteck-Pyramide und zeichnet die Flächendiagonale der Deckfläche ein, so entstehen um sie herum vier schiefe Rechteck-Pyramiden. Zwei gegenüberliegende Pyramiden füllen jeweils ein Drittel des Quaders aus, die gerade Pyramide auf der Grundfläche das letzte Drittel.

Pythagoräischer Quader   top
Rechtecke bestehen aus zwei kongruenten, rechtwinkligen Dreiecken. 
Es gibt das Problem, einen Quader zu finden, bei dem die soeben beschriebenen Dreiecke pythagoräisch sind. Das heißt, dass neben den Kanten des Quaders auch die Flächendiagonalen ganzzahlig sind. 
Das Gleichungssystem a²+b²=x², a²+c²=y² und b²+c²=z² ist also in ganzen Zahlen zu lösen.
In Buch (2) wird eine Lösung von Euler angegeben mit a=240, b=117 und c=44. Das führt zu d1=267, d2=244 und d3=125. 
Diese Quader heißen im Englischen folglich Euler Bricks


Bis heute ist nicht bekannt, ob es auch ein Zahlentripel gibt, für das zusätzlich die Raumdiagonale e=sqrt(a²+b²+c²) ganzzahlig ist. (Hier ist e²=73225 oder e=270,6 angenähert.)
Ein solcher Quader würde pythagoräischer Quader heißen. 

Parallelepipede (s.u.) mit ganzahligen Seiten, ganzahligen Flächendiagonalen und ganzahligen Raumdiagonalen kennt man.
(Quelle bei ams.org, URL unten)

Es ist leicht, Quader mit ganzzahligen Kanten zu finden, bei denen nur die Raumdiagonale e= sqrt(a²+b²+c²) eine ganze Zahl ist. 
Bei The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences findet man natürliche Zahlen, die sich als Summe von drei Quadratzahlen >0 schreiben lassen. Das sind unter 100 die folgenden Zahlen.
3, 6, 9, 11, 12, 14, 17, 18, 19, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 81, 82, 83, 84, 86, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 96, 97, 98, 99, ...
Darunter sind auch die Quadratzahlen 9, 36, 49 und 81. 
Da z.B. 9=1+4+4=1²+2²+2² gilt, hat ein Quader mit a=1, b=2 und c=2 eine ganzzahlige Diagonale, nämlich e=3. 

Puzzles mit Quadern    top
Quader bauen
...... Der Quader 4×3×2 besteht aus 24 Würfeln. Welche Quader kann man aus ihnen noch bauen?
Es geht dabei um die Zerlegung der Zahl 24 in drei Faktoren:
24=1*1*24=1*2*12=1*3*8=1*4*6=2*2*6=2*3*4. Es gibt also 6 Quader.
Statt der Einzelwürfel gibt man auch Körper aus mehreren Würfeln vor, z.B. Tetrawürfel oder Pentominos (s.u.).


Pack Puzzles
...... Es geht dabei darum, in eine Kiste mehrere Holzstücke zu packen, die sie genau ausfüllen. 

In diesem Falle sind es 8 voneinander verschiedene Holzquader.

Puzzles dieser Art können sehr anspruchsvoll sein. 


In Buch (1) werden folgende Pack-Puzzles beschrieben.
> Der geteilte Block von T.H.O'Beirne
> Das Conway-Packproblem
> Die Haselgrove-Kiste
> Der chinesische Quader

Parallelepiped      top
Ersetzt man beim Quader die Rechtecke durch Parallelogramme, entsteht ein neuer Körper, das Parallelepiped.
Kalkspat
Kalkspat kann diese Form annehmen, deshalb heißt der Körper auch Spat. 


Der Quader ist ein rechtwinkliges Parallelepiped.

Quader um uns      top
Hier ist eine kleine, persönliche Auswahl. 
A4-Blatt Druckerpapier 80g/m² 210mm × 297mm × 0,1mm 6,24cm³
Streichholzschachtel 5,0cm × 3,5cm × 1,5cm 26,3cm³
9-V-Block 48,5 mm × 26,2 mm × 17 mm 21,6cm³
250g abgepackte Butter 10cm × 7,5cm × 3,4cm (gemessen) 255cm³
Backstein, Normalformat (NF) - Deutschland 24,0cm × 11,5cm × 7,1cm  1,96dm³
20'-Standardcontainer, außen 6,1m × 2,4m × 2,6m 38 m³
Bramme auf der Schurenbachhalde in Altenessen 14,5m × 4,2m × 13,5cm (67 Tonnen schwer) 822m³
UN Hauptgebäude in New York 91m × 22m × 154m (geschätzt nach google map, o.G.) sinnlos
Quelle der meisten Daten: Wikipedia


Auch an anderen Stellen meiner Webseite kommen Quader vor. 
Fliege-Spinne-Problem 
...... Das Fliege-Spinne-Problem bezieht sich auf einen Quader.

Quader aus Pentawürfel
...... Es gibt etliche Quader, die man aus allen 12 Pentomino-Steinen bauen kann. 
Mehr findet man unter Quader aus Pentawürfeln.

Quader aus Tetrawürfeln
...... Es gibt etliche Quader, die man aus allen 12 Tetrawürfeln bauen kann. 
Mehr findet man unter Quader aus Tetrawürfeln.

Kasten
...... Einen oben offenen Kasten bastelt man aus einem quadratischen Blatt Papier.

Quader im Internet top

Deutsch

mathepower.com
Quader

Susanne Prediger
Quader bauen aus 24 Würfeln – Kinder auf dem Weg zur Volumenformel  (.pdf Datei)

Wikipedia
Quader, Parallelepiped, Rhomboeder

WOLFGANG RIEMER – DIETRICH STOYAN
»Würfeln« mit Quadern – die Gibbs-Verteilung (.pdf-Datei)



Englisch

JORGE F. SAWYER AND CLIFFORD A. REITER 
PERFECT PARALLELEPIPEDS EXIST   (.pdf file bei AMS)

Eric W. Weisstein
Cuboid, Hyperrectangle, Euler Brick, Perfect CuboidParallelepiped

Fred Curtis 
Primitive Euler Bricks

Gijs Korthals Altes 
Paper Model of a Rectangular PrismPaper Model of a Oblique Rhombic Prism

MathsIsFun.com 
Cuboids, Rectangular Prisms and Cubes

Maurice Starck
the fifty four nets of the rectangular parallelepiped

Rob Stegmann (Rob's Puzzle Page)
3-D Packing Puzzles with Identical or Similar Pieces

N. J. A. Sloane  (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) 
A000408

Wikipedia
Cuboid, Euler brick, Parallelepiped, Unit block


Referenzen   top
(1) Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1998 ISBN 3-88034-87-0] 
(2) David E. Hayes and Tatiana Shubin (Editors): Mathematical Adventures for Students and Amateurs (Google book)
Das Kapitel Pythagorean Cuboids  (page 61/ 62) steht im Internet zur Verfügung.


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©  2010 Jürgen Köller

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