Was ist das Sterntetraeder?
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Zwei gleiche Tetraeder durchdringen
sich so, dass ein Stern mit acht Tetraedern als Zacken entsteht.
Das ist das Sterntetraeder.
Als ein Körper, der nur von gleichseitigen Dreiecken
begrenzt wird, gehört es zu den (konkaven) Deltaedern. |
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Das nebenstehende Bildpaar ermöglicht eine dreidimensionale
Sicht des Sterntetraeders. |
Besondere Ansichten führen
auf die Figuren Hexagramm und Quadrat.
undurchsichtig
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durchsichtig
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durchsichtig
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undurchsichtig
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Das Sterntetraeder heißt
auch Keplerstern. Johannes Kepler (1571 bis 1630) untersuchte es
wie andere vor und nach ihm.
Er nannte ihn Stella Octangula.
Diejenigen, die in einem Sterntetraeder mehr als
einen geometrischen Körper sehen, nennen ihn Merkaba.
Beziehung
zu anderen Körpern top
Beziehung zum Oktaeder
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Setzt man auf ein Oktaeder
acht Tetraeder, entsteht das Sterntetraeder.
Deshalb heißt es im Englischen stellated octahedron.
Da bietet sich im Deutschen die Bezeichnung Oktaederstern an so
wie das große Sterndodekaeder auch Ikosaederstern heißt. |
Beziehung
zum Würfel
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Zeichnet man alle Flächendiagonalen eines Würfels,
so entstehen zwei Tetraeder, die sich durchdringen. |
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Verbindet man noch zusätzlich benachbarte Mittelpunkte
der Seitenflächen, also der Quadrate, so ist im Inneren das Sterntetraeder
auszumachen. Man erkennt das Oktaeder und die acht Tetraeder. |
Anders ausgedrückt:
Der Würfel umhüllt das Sterntetraeder. Ich nenne ihn deshalb
Hüllwürfel (Englisch: Convex hull).
Beziehung
zum Pentagondodekaeder
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In einem Pentagondodekaeder
liegt ein Würfel und im Würfel ein Sterntetraeder.
Da es fünf verschiedene Würfel
im Pentagondodekaeder gibt, gibt es in ihm fünf Sterntetraeder.
Ich verzichte links auf die Darstellung
des Sterntetraeders. |
Einordnung
des Sterntetraeders
Setzt man Tetraeder auf ein Tetraeder, ein Oktaeder und
ein Ikosaeder, so entstehen die folgenden Sterne.
Formeln top
Ecken, Kanten und Seitenflächen
Das Sterntetraeder hat e = 5+4+5 = 14 Eckpunkte, k =
8*3+12 = 36 Kanten und f = 3*8 = 24 Seitenflächen.
Betrachtet man die beiden Tetraeder, die sich durchdringen,
sind die Daten e = 8, k = 12 und f = 8.
Größen
Die Kantenlänge des Sterns sei a, dann ist die Oberfläche
O = 3*8*[(1/4)sqrt(3)a²] = 6sqrt(3)a² oder gerundet 10,39a².
Das Volumen setzt sich aus
dem Volumen der acht Tetraeder und des Oktaeders zusammen.
V=8*[(1/12)sqrt(2)a³]+(1/3)sqrt(2)a³ = sqrt(2)a³
oder gerundet 1,41a³.
Der
Radius R der Umkugel findet man als halbe Diagonale im Hüllwürfel.
D.h., R = (1/2)[sqrt(3)]*[sqrt(2)a]
= (1/2)sqrt(6)a oder gerundet 1,22a.
Vergleich
der Volumina von Tetraeder und Oktaeder
[(1/12)sqrt(2)a³]:[(1/3)sqrt(2)a³] = 1:4
(!)
Vergleich mit dem
Hüllwürfel
Der Hüllwürfel hat eine Kantenlänge von
sqrt(2)a, eine Oberfläche von 6*[sqrt(2)a]² = 12a² und ein
Volumen von [sqrt(2)a]³ = 2sqrt(2)a³.
Das Verhältnis der Oberflächen vom Stern zum
Hüllwürfel ist [6sqrt(3)a²]:[12a²] = (1/2)sqrt(3) oder
gerundet 0,8660 = 86,60%.
Das Verhältnis der Volumina vom Stern zum Hüllwürfel
ist [sqrt(2)a³]:[2sqrt(2)a³] = 1/2 = 50% (!).
Basteln des
Sterntetraeders top
Basteln mit Hilfe eines Netzes
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Auf der Webseite Stella Octangula von MathWorld
(URL unten) findet man eine Vorlage zum Basteln des Sterntetraeders. Die
Doppellinie bedeutet, dass dort ein Schnitt zu machen ist. [siehe auch
(1)]
Der Stern ist mir nicht gelungen :-(. |
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Im Internet fand ich eine genaue Anleitung. Die schwarzen
Linien bedeuten eine Bergfaltung, die blauen eine Talfaltung. Das Netz
ist mit Klebestreifen versehen. Die 24 Dreiecke sind nach dem Alphabet
nummeriert.
Man klebt die Tetraeder aus den Dreiecken MST, KFL, QPW,
YRV, ONI, CFE und UHG in dieser Reihenfolge. Dann schließt man den
Körper, und es entsteht das achte Tetraeder ABD. |
Das
ist das Resultat.
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Gefalteter
Stern mit acht Zacken
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Der nebenstehende Stern entstand aus einem quadratischen
Blatt Papier einem russischsprachigen Video bei Youtube folgend (DYI, URL
unten).
Die Zacken sind nicht Tetraeder, sondern rechtwinklige
dreiseitige Pyramiden. |
Bascetta-Stern
mit acht Zacken
Die Zacken sind nicht Tetraeder, sondern dreiseitige
Pyramiden.
Freundlicherweise zur Verfügung gestellt von Rudolf
Kunstmann
Sonobe-Stern
mit acht Zacken
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Der nebenstehende Stern entstand aus 12 quadratischen
Blättern.
Die Zacken sind nicht Tetraeder, sondern rechtwinklige
dreiseitige Pyramiden.
Mehr über Sterne aus den Sonobe-Modulen findet man
auf meiner Webseite Sonobe-Stern. |
Think
3D Free
Es gibt für das IPad eine App von Paul Hangas, mit
der man auf einfache Weise aus Oktaeder und Tetraedern ein Sterntetraeder
baut. -
Es soll noch erwähnt werden, dass man auch Würfelkörper
zusammensetzen kann wie rechts ein Pentomino (URL unten).
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Verschiedenes top
Hexagramm
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Im Sechseckstern kann man die zweidimensionale Version
des Sterntetraeders sehen. |
Parkettierung
des Raumes
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Setzt man auf zwei gegenüberliegende Seitenflächen
eines Oktaeders zwei Tetraeder, entsteht ein Parallelepiped. So wie die
Würfel füllen die Parallelepipede
den Raum aus. |
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So sähe die Raumerfüllung in einem Ausschnitt
aus. Jedes Oktaeder ist von acht Tetraedern umgeben. Das aber ist ein Sterntetraeder.
Man stellt fest:
In der Parkettierung des Raums durch Oktaeder/Tetraeder
entdeckt man Sterntetraeder. |
Zeichnung nach https://commons.m.wikimedia.org/wiki/Tessellation?uselang=de#/media/File%3AHC_P1-P3.png
Tetrakishexaeder
Verbindet man die Mittelpunkte der Dreiecke und Achtecke
eines abgestumpften Würfels, so entsteht das Tetrakishexaeder. Das
ist ein Oktaeder, auf dessen Seitenflächen dreiseitige Pyramiden liegen.
Im Unterschied zu den Tetraedern des Sterntetraeders sind die Pyramiden
flacher.
Kepler-Fraktale
Ersetzt man beim Sterntetraeder die dunklen Tetraeder
wiederum durch Sterntetraeder, so erhält man ein Fraktal der Ordnung
1.
n=0
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n=1
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Das setzt man fort. Es entsteht dann eine Folge von Fraktalen.
Fraktale findet man auf den Webseiten von Paul Bourke
und des Instituts für Geometrie der Technischen Universität Dresden
(URL unten).
Sterntetraeder-Zahlen
Sterntetraeder-Zahlen sind figurierte
Zahlen, also Zahlen, die sich durch Figuren, in diesem Falle durch
Sterntetraeder, darstellen lassen.
Sie werden nach der Formel S(n) = 2n³-n bestimmt.
Die ersten zehn Sterntetraeder-Zahlen sind 1, 14,
51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990.
Die folgenden Überlegungen
führen zur Formel.
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Ordnet man 14 Kugeln so an, dass sie in den Ecken und
in den Mittelpunkten der Seitenflächen eines Würfels liegen,
so bilden sie ein Sterntetraeder. Dazu muss man sich in nebenstehender
Zeichnung vorstellen, dass die Kugeln größer sind und sich berühren.
Das ist das kleinste Sterntetraeder aus Kugeln. |
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Das ist eine andere Überlegung.
Man bildet ein Quadrat aus vier sich berührenden
Kugeln und legt in die Mitte eine fünfte Kugel. Eine sechste Kugel
liegt unter dem Quadrat. - Die sechs Kugeln stehen für das Oktaeder.
Man legt vier Kugeln in die von drei Kugeln geformten
Mulden. Weitere vier Kugeln liegen darunter. - Die acht Kugeln stehen für
die Tetraeder und die Spitzen des Sterntetraeders. |
Es gibt immer größer
werdende Sterne, die man aus Kugeln bauen kann. Das Prinzip ist offenbar
das folgende.
Man gibt ein immer größer werdendes Oktaeder
vor und setzt auf die Seitenflächen Tetraeder.
Also geht man aus von den Oktaeder- und Tetraederzahlen.
Oktaederzahlen
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Die Oktaederzahlen errechnen sich nach der Formel O(n)=(1/3)(2n³+n). |
Tetraederzahlen
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Die Tetraederzahlen berechnet man nach der Formel T(n)=(1/6)[n(n+1)(n+2)]. |
Es gilt für die Sterntetraeder-Zahlen
S(n) = O(n)+8*T(n-1) = (1/3)(2n³+n)+8*(1/6)[(n-1)n(n+1)] = 2n³-n,
was zu zeigen war.
Auf der Wikipedia-Seite Stella
octangula number (URL unten) findet man das Bild eines Sterntetraeders
aus 124 magnetischen Kugeln.
Sternpuzzle
Verwandt mit dem Sterntetraeder ist das Sternpuzzle.
Der Stern liegt auch in einem Würfel. Die Spitzen der Zacken
liegen nicht in den Ecken, sondern in den Kantenmitten des Hüllwürfels.
Die 12 Zacken sind gerade Pyramiden mit einer Raute als Grundfläche.
Sterntetraeder
im Internet top
Deutsch
Christoph Pöppe (Spektrum der Wissenschaft)
Stern-
und Drachenkörper
Technische Universität Dresden (Institut für
Geometrie)
Tetraederfraktal
Wikipedia
Sterntetraeder,
Tetrakishexaeder
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Stella
Octangula, Tetrahedron2
Compound, Tetrakis
Hexahedron, Stella
Octangula Number
Gijs Korthals Altes
Paper
Model of a Stella Octangula
compound of two tetrahedra
George W. Hart (Virtual Polyhedra)
Compounds
of Polyhedra
N. J. A. Sloane (OEIS)
Stella octangula numbers:
a(n) = n*(2*n^2 - 1)
Paul Hangas
Think 3D Free
Wikipedia
Stellated
octahedron, Polyhedron
compound, Stella
octangula number, Tetrakis
hexahedron, Stars
(M. C. Escher), Metatron's
cube
Youtube
DIY
- Stern Oktaeder Papier
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models,
Oxford 1961
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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
© Dezember 2015 Jürgen
Köller
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